Mines på 5×5: hvor multiplikatoren kommer fra

Tre miner, 25 ruter: første, andre og tredje trykk

Sett at du legger tre miner. Da er 22 av de 25 rutene trygge.

Første trykk: 22 av 25 ruter er trygge. 22 / 25 = 0,88. Det går bra 88 ganger av 100.

Andre trykk: nå ligger det 24 ruter igjen på brettet, og 21 av dem er trygge. 21 / 24 = 0,875. Men det tallet gjelder bare i de rundene der det første trykket gikk bra. Sannsynligheten for at begge går bra er 0,88 × 0,875 = 0,77.

Tredje trykk: 23 ruter igjen, 20 trygge. 20 / 23 = 0,8696. Sannsynligheten for tre trygge på rad er 0,77 × 0,8696 = 0,6696.

Legg merke til hva som skjer her. Hvert enkelt trykk har omtrent samme sjanse — rundt 87 til 88 prosent — og føles derfor like ufarlig hver gang. Men tallene skal ganges sammen, ikke leses hver for seg. Etter tre trykk står du på to tredjedeler, og fallet fortsetter for hver rute du åpner.

Med tre miner kan du hoppe rett til svaret. Sannsynligheten for at n trykk på rad er trygge er

(25 − n) × (24 − n) × (23 − n) delt på 25 × 24 × 23.

Nevneren er alltid 13 800. For n = 3 blir telleren 22 × 21 × 20 = 9 240, og 9 240 / 13 800 = 0,6696 — samme svar som over. For n = 10 blir telleren 15 × 14 × 13 = 2 730, og 2 730 / 13 800 = 0,1978.

Fra sannsynlighet til multiplikator

En multiplikator er rettferdig når den er nøyaktig én delt på sannsynligheten. Har du 0,6696 sjanse for å komme deg gjennom tre ruter, er den rettferdige multiplikatoren 1 / 0,6696 = 1,494×. Et spill som betalte det, ville i lengden gitt tilbake nøyaktig det som ble satt inn.

Ingen spill betaler det. Multiplikatoren du får, er den rettferdige ganget med et tall like under 1. Er husfordelen 1 prosent, ganges det med 0,99: 0,99 / 0,6696 = 1,479×.

Gang sannsynligheten med den rettferdige multiplikatoren på hvilken som helst linje, og du får 1,000. Gang den med kolonnen til høyre, og du får 0,99 hver eneste gang. Der ligger huset: ikke i én bestemt rute, ikke i en «uflaks-serie», men i det ene tallet som er ganget inn i hele tabellen.

Tre miner på 25 ruter. Multiplikatoren stiger bare fordi sjansen for å nå fram faller: 1,479× ved tre ruter mot 5,004× ved ti, med 67 og 19,8 prosent bak seg. Ganget sammen gir de 0,99 begge steder. Samme form gjelder overalt der multiplikatoren bygges som 0,99 delt på sannsynligheten, rute for rute i mines og trinn for trinn i HiLo.

Husfordelen på 1 prosent er brukt her fordi det er et rundt tall å regne med. Hvilken sats et bestemt spill faktisk bruker, kan du finne selv: gang en oppgitt multiplikator med sannsynligheten du regnet ut. Blir svaret 0,99, er fordelen 1 prosent. Blir det 0,97, er den 3 prosent. RTP og husfordel går gjennom hva den forskjellen koster i timen.

Én enhet er innsatsen per runde. En rolig crash-time på 120 runder koster 1,2 enheter, en terningtime på 3 600 runder koster 36 — samme prosent, tretti ganger prisen. Prosenten tas av omsetningen, ikke av innskuddet, og tempoet er ikke med i prosenten.

«Ta ut på tredje» og «ta ut på tiende» er ikke to strategier

Dette er det vanligste spørsmålet om Mines, og svaret er kort: det er samme kurve, lest to steder.

Tar du ut etter tre ruter, vinner du 0,6696 av gangene og får 1,479×. Forventet utfall: 0,6696 × 1,479 = 0,99.

Tar du ut etter ti ruter, vinner du 0,1978 av gangene og får 5,004×. Forventet utfall: 0,1978 × 5,004 = 0,99.

Samme tall. Det er ikke tilfeldig, og det er ikke fordi de to punktene tilfeldigvis er like gode. Det er fordi multiplikatoren i begge tilfeller er bygd som 0,99 delt på sannsynligheten. Når du ganger sannsynligheten inn igjen, forsvinner den, og 0,99 blir stående alene. Hvor du stopper, er derfor et valg om form, ikke om forventning.

Formen er til gjengjeld svært forskjellig. Med uttak på tredje rute er de fleste rundene små gevinster og et mindretall er tap. Med uttak på tiende er fire av fem runder tap, og den femte skal betale for de fire andre. Pengene ender samme sted; veien dit svinger helt ulikt. Det er den samme forskjellen som mellom en lav og en høy grense for automatisk uttak i crash.

Og én ting til: kurven har ikke hukommelse. At de tre siste rundene endte på mine allerede ved fjerde rute, endrer ingenting i tabellen over. Brettet legges på nytt hver runde.

Flere miner, færre trykk — samme regnestykke

Antall miner er den andre skruen du kan vri på. Med fem miner er 20 ruter trygge, og første trykk er 20 / 25 = 0,80 i stedet for 0,88. Regnestykket er det samme, bare med fem faktorer i stedet for tre.

Her er et resultat verdt å merke seg. Fem miner og tre åpnede ruter gir nøyaktig samme sannsynlighet som tre miner og fem åpnede ruter: 0,4957 i begge tilfeller. Regnestykket er symmetrisk i antall miner og antall trykk. To brett som ser helt forskjellige ut på skjermen, kan altså være samme punkt på samme kurve, med samme multiplikator og samme forventning. Skjermbildet skiller dem. Matematikken gjør det ikke.

Hva regnestykket ikke svarer på

Alt over sier hva multiplikatoren burde være. Det sier ingenting om hva et bestemt spill faktisk betaler — det må du lese i spillets egen tabell og gange ut selv — og det sier ingenting om hvorvidt minene virkelig ble lagt tilfeldig. Det er to helt forskjellige spørsmål, og bare det andre handler om tillit.

Til det andre spørsmålet finnes det et svar som ikke krever at du tror noen på ordet: hashen av serverfrøet publiseres før runden, du setter ditt eget frø, og oppskriften er offentlig. Slik testes spillene beskriver hva som kontrolleres og hvordan. Vil du se det samme mønsteret i et spill uten rutenett, er dice den enkleste versjonen: én glidebryter, ett tall, samme formel bak.